Jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah kurang dari atau sama dengan 180o. (dalam Geometri Netral)

Bukti: 

Kita akan gunakan pembuktian tidak langsung dan misalkan bahwa terdapat suatu    dengan jumlah sudut-sudutnya adalah ,  dimana   adalah sembarang bilangan positif.   Dengan menggunakan Lemma (Untuk sembarang   terdapat    yang jumlah ukuran sudutnya sama dengan     , tetapi ), kita dapat menghasilkan suatu  yang juga sama dengan jumlah sudut   . Sekarang kita  dapat menerapkan Lemma  ini  juga  untuk menghasilkan   dengan  jumlah sudut  yang  sama  dengan      dan  sama  dengan  jumlah  sudut   dengan  .

 Jika kita ulangi proses ini, kita dapat mengkonstruksikan  suatu barisan segitiga-segitiga:    masing-masing  dengan  jumlah sudut   , sedemikian sehingga untuk  sebarang   . Sekarang sifat Archimedes untuk bilangan real memungkinkan kita untuk memilih sembarang    yang cukup besar sedemikian sehingga  sekecil mungkin kita pilih, dan secara khusus sedemikian sehingga . Sekarang, karena  , disimpulkan bahwa    yang  bertentangan  dengan  lemma (jumlah dua sudut dalam suatu segitiga kurang dari  ).

Jadi, Jumlah sudut-sudut suatu segitiga  adalah kurang dari atau sama dengan .